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什么叫互質數

關注：118 發布時間：2021-10-18 14:37:03

一、概念描述

現代數學：如果一個整數的除數(因子)是質數，就叫該數的質數因子。把一個合成數表示成素因子的乘積，叫做分解素因子。作為特例，把一個質數寫成質因數積，就是質數本身。

小學數學:2004年北京版教材第10卷第57頁指出，每一個合成數都可以用幾個素數相乘的形式寫成，這些素數被稱為這個合成數的素因子。如果12=2x2x3，2和3是12的素因子。用素因子相乘的形式表示一個復合數，叫做素因子分解。

同卷教材第62頁指出，如果兩個數的比較大公約數(公因數)為1，則兩個數互為質數。

2013年人教版五年級課本第二冊第83頁提出兩個公因數只有1的數叫素數。

二.概念解釋

互素中的“兩個數”指除0以外的所有自然數?！肮驍抵挥?”也可以理解為“比較大公因數為1”。另外，“公因數只有1”不能誤認為“沒有公因數”。

三個或三個以上自然數互為素數有兩種不同的情況：一種是這些自然數成對互為素數，如2、3、5，它們比較大的公因數為1，所以互為素數。而且2和3互為素數，3和5互為素數，2和5也互為素數，所以互為素數。另一個是這些自然數是質數，不是成對質數。比如6，8，9，它們比較大的公因式也是1，所以它們也是互素數。但6和8不是互素數，6和9也不是互素數，所以也不是互素數。

相互性有以下幾種情況：

a.兩個不同的質數必須是質數，如2和5，11和19。

b兩個相鄰的自然數必須是素數，比如8和9。

c.兩個相鄰的奇數必須是質數，如7和9。

d大數是質數，兩個數必須是質數，比如31和18。

e.小數是質數，不是小數倍數的大數必須是質數，比如7和22。

f.2和奇數必須互為質數，如2和87。

g.1和非零自然數必須互為素數，如1和4

分解素因子的方法。

因式分解素因子可以以分支的形式找到。如果將24分解成質因數：

24 24 24

/\ /\ /\

1 12 3 8 4 6

/\ /\ /\/\

2 6 2 4 2 2 2 3

/\ /\

2 3 2 2

以上三種方法都可以。通常乘法的質因數要從小到大大寫，即24=2x2x2x3。

分解素因子也可以通過短除法得到。方法如下：第一，用能把這個合成數平均除的比較小素數(一般從比較小的開始)。如果得到的商是質數，則以乘法的形式寫出除數和商。如果得到的商是一個復合數，繼續按上述方法除，直到得到的商是素數，然后以連續乘法的形式寫出每個除數和比較終的商。

三.教學建議

因子、素數、素數、素因子、分解素因子等概念容易被學生混淆。

正確區分這些概念對于掌握數的除法基礎知識非常重要。

因子和質因數：因子可以是質數、復合數或1。如果13=3，1和3都是3的因子；26=12，2和6都是12的因子。質因數要求因數本身必須是質數。如果12=2x2x3，2和3是12的素因子。

質數、質因數和分解質因數：質數是指一個數，如“2為質數，19為質數”。質因數雖然也指一個數，但指分解后的合成數，例如“15=35，3是15的質因數，5也是15的質因數”。離開15，孤立地說“3是質因數，5是質因數”是不合適的。所以素數因子有雙重恒等式：第一，必須是素數；第二個必須是另一個數的因子。素因子分解是以素因子相乘的形式表示一個合成數，分解的過程就是尋找這些素因子的過程。

素數不同于素數和質因數。它不是指單個數字，而是指兩個或兩個以上沒有除1以外的其他共同因素的數字。比如4和7的比較大公因數是1，那么4和7是素數，或者4和7是素數，但不能說4是素數，7是素數?；ニ財档膬蓚€數不一定是質數，比如1和4，8和9，但是1，4，8和9這四個數不是質數。

可見這些概念既有聯系又有區別，要幫助學生理解透徹，正確區分，以防混淆。

利用短除法分解素因子是學生尋找幾個數的比較大公因數和比較小公倍數的基礎。在教學中，學生可以學會用短除法分解質因數。

四.推薦閱讀

(1) 小學數學知識樹(劉開云，李彥諺，北京大學出版社，2008)

書的第一部分“數與運算”，第二章“精確劃分數”，介紹了素因子、互素因子、分解素因子的知識。

(2) 對“因數與倍數”教學內容的再思考(丁，(小學教學，2008年第2期)

本文分析了這一部分的相關概念之間的密切關系以及學習這一部分對后續數學學習的意義。

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